Objectif
Le but de cet devoir maison est de tenter d’obtenir le prix d’un Call asiatique par des méthodes de Monte-Carlo et de comprendre comment varie le prix de cette option en fonction du rendement sans risque, de la volatilité, de la maturité et du strike—on ne se prendrait presque pour des financiers désormais ;-)
Le payoff, i.e., bénéfice, d’un call Asiatique est donné par \[
\max\left(\frac{1}{T} \int_0^T S_t \mbox{d$t$} - K, 0\right),
\] avec, comme d’habitude, \(T\) la maturité, \(K\) le strike et \(S_t\) est la solution du modèle de Black-Scholes, i.e., \[
S_t = S_0 \exp \left\{\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma W_t \right\}, \qquad t \geq 0,
\] où \(\sigma\) est la volatilité et \(r\) le taux de rendement sans risque.
Ainsi le prix d’un call asiatique est donné par \[
C = \exp(-r T) \mathbb{E} \left[ \max\left(\frac{1}{T} \int_0^T S_t \mbox{d$t$} - K, 0\right)\right].
\] Il vous sera impossible de calculer \(C\) de manière explicite mais les techniques d’intégration par Monte-Carlo vont nous aider. C’est donc votre objectif pour ce DM !
Modalités
Vous allez me rendre vos devoirs maison en utilisant RMarkdown, ensuite il s’agira de produire votre rapport comme une page html !!! Je récupererai alors vos rapports sous forme html (à envoyer par email ou en passant à mon bureau) le Mercredi 28 Mars 2018.
Questions
- Ecrivez une fonction qui calcule (approximativement) l’intégrale \(\int_0^T f(t) dt\) pour une fonction \(f\) et \(T > 0\) donnés à l’aide de l’approximation \[
\int_0^T f(t) \mbox{d$t$} \approx \sum_{i=1}^N h f(t_i), \qquad t_i = (i-1) h,
\] avec \(h = T / N\) pour un \(N\) assez grand pour que la discrétisation soit bonne. Au fait que devient cette approximation lorsque l’on souhaite calculer \[
\frac{1}{T} \int_0^T f(t) \mbox{d$t$}?
\]
Vous pourrez tester que votre fonction est correcte en l’appliquant à la fonction \(f(x) = \sqrt{1 - (1 - x)^2}\), \(x \in [0,2]\).
- Dans la suite on utilisera l’abus de notation \(S_i = S_{t_i}\), \(i \in \{1, \ldots, N\}\). A partir des propriétés du mouvement Brownien (plus précisément celles des accroissement stationnaires et indépendants), il facile de voir que pour tout \(i = 2, \ldots, N\), \[
S_i \stackrel{\mathcal{L}}{=} S_{i-1} \exp \left\{ \left( r - \frac{\sigma^2}{2} \right) h + \sigma \sqrt{h} Z_i \right\}, \qquad Z_i \stackrel{\rm iid}{\sim} N(0,1),
\] pour un \(S_0\) fixé.
Ecrivez une fonction qui pour \(S_0, T, r, \sigma\) et \(N\) donnés génère une trajectoire (discrétisée) de \(t \mapsto S_t\).
- Faites le graphe d’une trajectoire simulée pour \(S_0 = 100, T = 1, r = 0.05\) et \(\sigma = 0.5\).
- Faites de même pour \(S_0 = 100, T = 1, r = 0.05\) et \(\sigma = 0.01\). Quelles sont les différences notables entre ces deux trajectoires ? Etait-ce prévisible ?
- Écrivez une fonction qui pour \(S_0, T, r, \sigma,N\) et \(K\) donnés, calcule par Monte-Carlo le prix d’un call asiatique.
- A ce stade là nous avons toutes les fonctions nécessaires au calcul du prix d’un call asiatique. Voci ce que je vous propose de faire. Sauf mention contraire, on supposera que \(S_0 = 100, T = 1, r = 0.05, \sigma = 0.5\) et \(K = 105\).
- Quel est le prix de l’option lorsque \(T=1\) ? Et lorsque \(T = 10\) ? Est-ce logique ?
- Quel est le prix de l’option lorsque \(r=0.01\) ? Et lorsque \(r = 0.25\) ? Est-ce logique ?
- Quel est le prix de l’option lorsque \(\sigma=0.1\) ? Et lorsque \(\sigma = 0.7\) ? Est-ce logique ?
- Quel est le prix de l’option lorsque \(K=101\) ? Et lorsque \(K = 120\) ? Est-ce logique ?
Commentez chacune des situtations précédentes et tentez de comprendre en quoi ce comportement était prévisible.
- Vous pouvez (enfin!) vous reposer et apprécier la qualité du travail que vous avez fourni…